Trigonometri, Üçgenlerin kenar ve açılarının hesap yolu ile çözümünü konu edinen matematik dalıdır. Genellikle geometri konuları ile karıştırılır. Geometride ise verilen elemanlar kullanılarak çizim yapılır. Bu durumda geometri ile trigonometri çözüm yolları bakımından ayrılır. Trigonometride şeklin diğer elemanlarını hesap yoluyla bulabilmek için; açı ile uzunluklar arasındaki bağıntıların bilinmesi gerekir.

Trigonometri konusu hesaplaması genellikle dik üçgen kullanılarak gerçekleşir. Üçgende toplamda 3 kenar ve 3 açı bulunur. İç açılar toplamı 180° ve dış açılar toplamı 360°'dir. Bu açılar ve kenar uzunlukları birbirinden farklı ya da birbirine eşit de olabilir. Tüm açıları ve dolayısıyla tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen, iki kenarı ve iki açısı birbirine eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen ve bir açısı 90 derece olan üçgene ise dik üçgen adı verilir.

Trigonometri konusu hesaplaması için örnek olarak ABC açılarına sahip dik üçgen verilebilir. A'nın karşısı a birim, B'nin karşısı b birim ve C'nin karşısı c birim olarak kabul edilsin. Şöyle ki; 90°'nin karşısındaki kenara hipotenüs, seçilen açının karşısındaki kenara karşı kenar, geriye kalan kenara ise komşu kenar isimleri verilir. Tüm bu bilgilere göre;

Sinüs Fonksiyonu: Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir. Kısaca 'sin' ile ifade edilir.

Sin = Karşı dik kenar uzunluğu/hipotenüs uzunluğu = [BC]/[AC] = a/b.

Kosinüs Fonksiyonu: Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının kosinüsü denir. Kısaca 'cos' ile ifade edilir.

Cos = Komşu dik kenar uzunluğu/hipotenüs uzunluğu = [AB]/[AC] = c/b.

Tanjant Fonksiyonu: Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir. Kısaca 'tan' ile ifade edilir.

Tan = Karşı dik kenar uzunluğu/komşu dik kenar uzunluğu = [BC]/[AB] = a/c.

Kotanjant Fonksiyonu: Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenarın uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir. Kısaca 'cot' ile ifade edilir.

Cot = Komşu dik kenar uzunluğu/karşı dik kenar uzunluğu = [AB]/[BC] = c/a.

Sekant Fonkiyonu: Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun bir dar açının yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının sekantı denir. Kısaca 'sec' ile ifade edilir.

Kosekant Fonksiyonu: Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kosekantı denir. Kısaca 'csc' ile ifade edilir.

Sonuç olarak; ölçüleri toplamı 90° olan (Tümler) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına; birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir. Buna göre.

α+β = 90° ise sinα = cosβ

α+β = 90° ise tanα = cotβ

α+β = 90° ise secα = cscβ sonucuna ulaşılır.

Sinx+siny = 2. Sin[(X+y)/2]. Cos[(X-y)/2]

Sinx-siny = 2. Cos[(X+y)/2]. Sin[(X-y)/2]

Cosx+cosy = 2. Cos[(X+y)/2]. Cos[(X-y)/2]

Cosx-cosy = -2. Sin[(X+y)/2]. Sin[(X-y)/2]

Cosx. Cosy = 1/2cos. [cos (X+y)+cos (X-y)]

Sinx. Siny = -1/2cos. [cos (X+y)-cos (X-y)]

Cosx. Siny = 1/2cos. [sin (X+y)+sin (X-y)]

Sinüs Teoremi: Bir ABC üçgeninde; α açısının karşısındaki kenarın uzunluğu a, β açısının karşısındaki kenarın uzunluğu b, γ açısının karşısındaki kenarın uzunluğu c ve üçgenin çevrel çemberinin yarıçapının uzunluğu r olmak üzere;

A/sinα = b/sinβ = c/siny = 2r eşitliğine sinüs teoremi adı verilir.

Kosinüs Teoremi: Bir ABC üçgeninde; α açısının karşısındaki kenarın uzunluğu a, yanlarındaki kenarların uzunluğu b ile c olmak üzere;

A2 = b2+c2-(2bc. Cosα) eşitliğine kosinüs teoremi adı verilir.

Trigonometri konusu ve hesaplamaları üçgenleri yakından ilgilendirir. Bu üçgenler arasında dik üçgenlerin yeri oldukça önemlidir. Dik üçgenler de özelliklerine göre kendi aralarında gruplara ayrılır.

Sin30 = 1/2, Cos30 = √3/2, Tan30 = 1/√3ve Cot30 = √3

Sİn60 = √3/2, Cos60 = 1/2, Tan60 = √3ve Cot60 = 1/√3

• 45° 45° 90° Üçgeni